Tập mờ – Fuzzy Set
Các tập mờ hay tập hợp mờ (Fuzzy set) hay còn gọi là các tập không chắc chắn. Được giới thiệu độc lập bởi Lotfi A. Zadeh và Dieter Klaua vào năm 1965 như một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về tập hợp và được dùng trong logic mờ. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ ràng, một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp; quan hệ này được mô tả bằng một hàm liên thuộc (membership function). Các tập mờ được coi là một phần mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển, một hàm liên thuộc có thể giữ vai trò của một hàm đặc trưng (indicator function) ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 như trong khái niệm cổ điển. Lý thuyết tập hợp mờ có thể được sử dụng trong một loạt các lĩnh vực mà trong đó thông tin không đầy đủ hoặc không chính xác, chẳng hạn như tin hiệu sinh học.
Tập kinh điển
Khái niệm tập hợp được hình thành trên nền tảng lôgic và được định nghĩa như là sự sắp xếp chung các đối tượng có cùng tính chất, được gọi là phần tử của tập hợp đó.
Cho một tập hợp A, một phần tử x thuộc A được ký hiệu [1]. Thông thường ta dùng ba cách để biểu diễn tập hợp kinh điển, đó là:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp, ví dụ tập A = {xe đạp, xe máy}.
+ Biểu diễn tập hợp thông qua tính chất tổng quát của các phần tử, ví dụ như tập các số thực (R), tập các số tự nhiên (N).
+ Biểu diễn thông qua hàm đặc trưng hay còn gọi là hàm liên thuộc của tập hợp [2] với [3].
Được ký hiệu là [4]. Ta nói: Tập A được định nghĩa trên tập nền X.
Ví dụ: [5] Hàm liên thuộc của tập A sẽ có giá trị bằng 1 khi và chỉ khi x nằm trong đoạn [-2, 2]. Có giá trị bằng 0 trên các đoạn còn lại của tập R.
Định nghĩa Tập mờ
Trong cuộc sống, các phát biểu như: “rất đông”, “hơi nóng”, “hơi lạnh”… Thật khó cho ta định lượng một con số cụ thể. Tuy nhiên người nghe những phát biểu này vẫn hình dung được một đặc tính cụ thể về đối tượng. Những suy nghĩ này dần đưa đến khái niệm về logic mở và tập mờ.
Thật vậy, trong khái niệm tập hợp kinh điển, hàm đặc trưng [2] của tập hợp A, chỉ có một trong hai giá trị là 1 nếu x thuộc A hoặc là 0 nếu x không thuộc A. Cách biểu diễn này có vẻ không phù hợp với những tập hợp được mô tả “mở”. Ví dụ: B là tập hợp các số thực gần bằng 10, [6]. Khi đó ta không thể khẳng định chắc chắn số 9 có thuộc B hay không, mà chỉ có thể nên nói nó thuộc B bao nhiêu phần trăm. Để trả lời được câu hỏi này, hàm đặc trưng [2] cần có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1, tức [7].
Định nghĩa: Tập mờ F xác định trên tập hợp kinh điển X là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó được xác định bởi một cặp các giá trị [8] trong đó [9] là mức độ phụ thuộc của x vào tập nền X được biểu diễn như sau [10].
Ánh xạ [9] được gọi là hàm liên thuộc của tập mờ F, trên tập cơ sở X. Hàm liên thuộc [9] được dùng để tính độ phụ thuộc của một phần tử x vào tập mờ F. Được tính trực tiếp theo công thức hoặc tra bảng, Hàm liên thuộc có nhiều giá trị trong [0; 1]. Chính hàm liên thuộc đã làm “mềm hóa” và “linh hoạt hóa” một tập hợp. Mỗi người có thể đặt giá trị [9] cụ thể để diễn đạt “mức độ mờ” của hệ thống. Hàm liên thuộc [9] thường có 2 dạng là dạng trơn và dạng tuyến tính từng đoạn
Đặc điểm của hàm liên thuộc
Độ cao của tập mờ F (trên tập nên X) là giá trị H được tính như sau:
H có giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên hàm uF (x). Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc, tức là H = 1, ngược lại một tập mờ F với H < 1 được gọi là tập mờ không chính tắc.
Miền xác định của hàm liên thuộc của tập mờ F (trên tập nền X), được ký hiệu bởi S là tập con của X thỏa mãn điều kiện sau:
Miền tin cậy (lõi) của hàm liên thuộc của tập mờ F (trên tập nền X) được ký hiệu bởi T là tập con của X thỏa mãn biểu thức sau:
Biên của hàm liên thuộc của tập mờ F là tập các giá trị thỏa mãn:
Tập mờ lồi là tập mờ mà hàm liên thuộc của nó đơn điệu tăng, hai đơn điệu giảm, hoặc đơn điệu tăng sau đó đơn điệu giảm. Nói cách khác, cho 2 phần tử bất kỳ x, y thuộc tập mờ F và điều kiện bên dưới thì F được gọi là tập mờ lồi.
Cybernetics For You 